Skrisk „Tiesiai"

Sustok ir apsižvalgyk. Eik ratu. Pašok į orą. Paplasnok rankomis. Esi dalelių rinkinys, judantis nedidelėje 3-matės daugdaros srityje; daugdaros, nusitęsiančios į visas puses daugelį milijardų šviesmečių.

Daugdara yra matematinė konstrukcija. Fizikams viskas vyksta trimatėje erdvėje. Trys matavimai reiškia, kad taško padėčiai erdvėje tiksliai nurodyti reikia trijų skaičių, kitaip, koordinačių. Niutono fizikai trimatė erdvė yra fiksuota ir nekintanti. Einšteino bendrojoje reliatyvumo teorijoje erdvė tampa aktyviu veikėju: atstumą tarp dviejų taškų nulemia tai, kokios masės ir energijos objektai yra netoliese ir kokios gravitacinės bangos praeina. Tačiau abiem atvejais erdvė yra trimatė daugdara. Tad trimačių daugdarų savybių suvokimas yra labai svarbus fizikos pagrindų suvokimui. Svarbios ir keturmatės daugdaros, kai erdvę papildome laiko matavimu.

Daugdaras matematikoje tiria topologija. Mokslininkai daug žino apie trimates daugdaras, tačiau kai kurie pagrindiniai klausimai tebėra sunkiai įveikiami. Kokia yra paprasčiausia trimatė daugdara? Ar yra jų keletas, vienodai paprastų, ar ji tik vienintelė? Kokių tipų yra trimatės daugdaros?

Atsakymas į pirmą klausimą žinomas jau senai: trimatė sfera yra paprasčiausia kompaktinė trimatė daugdara (nekompaktines daugdaras galime įsivaizduoti kaip begalines arba turinčias kraštą. Čia aptarinėsime tik kompaktiškas daugdaras). Kiti du klausimai nepasidavė visą šimtmetį, tačiau juos 2002 m. įveikė rusų matematikas „Griša“ (Grigorijus Perelmanas*); jis suklasifikavo ir visas trimates daugdaras.

Prieš 100 m. prancūzų matematiko Anri Puankarė (Henri Poincare) 

išsakė teiginį, kad trimatė sfera yra unikali, kad nėra kitų trimačių daugdarų, kurios būtų tokios paprastos. Kitos daugdaros turi arba ribas, kurias reikia apeiti tarsi plytų sieną, arba keletą jungčių tarp skirtingų sričių, tarsi takas miške, išsiskiriantis ir vėl susiliejantis. Tik trimatė sfera neturi tokių „nedarnumų“. Bet koks trimatis objektas, turintis tokias savybes, gali būti transformuotas į trimatę sferą – kitaip tariant, jis tėra tik kita trimatės sferos kopija. Puankarė teiginys yra viena iš „Tūkstantmečio problemų”, už kurių sprendimus Kembridže (Masačūsetso valstijoje) esantis Clay matematikos institutas skyrė po 1 mln. dolerių premijas.

Iš tikro, reikia šiek tiek mąstymo pastangų norint įsivaizduoti, kas yra trimatė sfera** – tai nėra paprasta sfera, kaip kad įsivaizduojame „sferą“ kasdienine to žodžio prasme. Tačiau ji tebeturi daug savybių, kurios yra bendros dvimatei sferai, kuri mums įprasta: pvz., baliono arba futbolo kamuolio paviršius sudaro dvimatę sferą. Ji dvimatė, 

nes užtenka tik dviejų koordinačių, ilgumos ir platumos, kad apibrėžtume bet kurį jos tašką. Mums žemės rutulys atrodo esąs plokščias, nes jo kreivumas yra labai nedidelis lyginant su mūsų dydžiais. Bet, jei eitume gana ilgai viena kuria kryptimi, sugrįžtume į tą patį tašką, iš kurio pradėjome kelionę. Panašiai ir trimatėje (labai didelėje) sferoje uodas jaustųsi tarsi esanti(s) „įprastoje“ trimatėje erdvėje, tačiau nuskridęs „tiesiai“ bet kuria kryptimi po daug laiko jis vėl grįžtų į tą patį tašką.***

* Barzdotas Griša Perelmanas 

linkęs gyventi tarsi atsiskyrėlis tarakonų apgultame bute St. Peterburge ir atsisako Clay matematikos instituto jam skirtos 1 mln. dolerių premijos už Puankarė teiginio įrodymą. Pro uždarytas duris jis pasakė korespondentui: „Man nieko nereikia. Aš turiu viską, ko noriu.“

M. Gromovas palaikė G. Perelmano sprendimą: „Dideliems darbams reikia nesuteršto proto. Privalai mąstyti tik apie matematiką. Visa kita – žmogiška silpnybė. Priimti apdovanojimą reiškia parodyti silpnybę“.

** Tarp visų dvimačių daugdarų, dvimatė sfera yra unikali tuo, kad bet kokia uždara kreivė jo paviršiuje gali būti sutraukta į tašką. Tuo tarpu, pvz., toro atveju, kreivė gali būti apibrėžta aplink angą ir nesutraukiama į tašką. Puankarė teiginys būtent ir tvirtina, kad tik trimačiai sferai bet kuri uždara kreivė sutraukiama į tašką.

***