Norma

Tie, kas mokėsi tikimybių teorijos, žino normalųjį skirstinį, kitaip - normaliai pasiskirsčiusįjį atsitiktinį dydį.

Parašyti šį rašinį paskatino pastabus studentas, neseniai pastebėjęs, kad mano iš storo, angliško, gero, kelissyk pakartotinai išleisto, vadovėlio perskaitytas uždavinys su normaliuoju skirstiniu buvo nenormalus.

"Pritemptas".

Jame ėjo kalba apie normaliai pasisiskirsčiusią automobilių akumuliatorių gyvavimo trukmę.

Studentas pastebėjo, kad, tokiu atveju, ta trukmė, tų akumuliatorių "gyvenimo" laikas, privalėtų nutikti ir neigiamas.

Tai matyti iš normalaus skirstinio tankio funkcijos grafiko.


Su jo pastaba teko sutikti ir pasiūlyti tą uždavinį visvien išspręsti, nors jis ir nevykęs.

Kol studentai sprendė, peržiūrėjau kitus tokius uždavinius tame gerame storame vadovėlyje.

Jie irgi buvo nevykę.

Namie perkračiau kitus uždavinynus, pasirausiau internete.

Nieko gero.

Parašiau draugui tikimybininkui, paprašiau normalaus uždavinio su normaliu skirstiniu.

Jis atsiuntė pora vėl nevykusių uždavinių - nesuprato, ko aš noriu.

Paaiškinau.

Pagalvojęs atsiuntė dar vieną, kurį irgi išbrokavau.

Po valandos gavau dar vieną, kurį ištiko ta pati lemtis.

Likau be normalaus uždavinio su normaliu skirstiniu.

Tada pasidomėjau normaliojo skirstinio kilme.

Su didele nuostaba sužinojau, kad jo išradėjas - visai ne Carl Friedrich Gauss, su kurio vardu jis dažniausiai siejamas, o Abraham de Moivre, kuris man labiau iki šiol buvo žinomas kaip įstabios Muavro formulės autorius.

Tai dar labiau suintrigavo, mat, minėtoji Muavro formulė yra kompleksinė, galiojanti tada, kai realiųjų skaičių aibė, paprastai talpinama nematerialia vadinamoje tiesėje, išplečiama iki kompleksinių skaičių plokštumos.

Kompleksinių skaičių naudojimas išplečia ankstesnę, realiųjų, skaičių aibę, tuo tarpu tikimybininkai apsieina susiaurindami ją iki uždaro intervalo [0,1].

Jei manome, kad Pasaulis yra vyksmas, t.y., įvykių visuma, turime manyti, kad jis yra uždaras - antraip "susipyktume" su tikimybių teorija iš esmės.

Tai kas gi "užėjo" Muavrui?

1718 metais jis Anglijoj, kurion pabėgo iš Prancūzijos, nuo hugenotų persekiojimo, išleido pirmąja vadinamą tikimybių knygą The Doctrine of Chances, kurios antrajame leidime atsirado binominio skirstinio artinio - normaliojo skirstinio - sąvoka:

The normal distribution was first introduced by Abraham de Moivre in an article in 1733, [3] which was reprinted in the second edition of his “The Doctrine of Chances” (1738) in the context of approximating certain binomial distributions for large n. His result was extended by Laplace in his book “Analytical theory of probabilities” (1812), and is now called the theorem of de Moivre–Laplace.

Since its introduction, the normal distribution has been known by many different names: the law of error, the law of facility of errors, Laplace’s second law, Gaussian law, etc. Curiously, it has never been known under the name of its inventor, de Moivre.

Įdomiausia, kad tas normaliuoju dabar vadinamas atsitiktinis dydis ne tik niekada nebuvo siejamas su jo atradėju, bet ir pusantro amžiaus apsiėjo be šito - normaliojo - vardo, o plačiajai visuomenei, kaip normalusis, yra žinomas tik maždaug šimtą metų:

The name “normal distribution” was coined independently by Peirce, Galton and Lexis around 1875; the term was derived from the fact that this distribution was seen as typical, common, normal.

This name “normal distribution” was popularized in statistical community by Karl Pearson around the turn of the 20th century.

Kaip čia taip?

Gal visuomenė iki šiol buvo nenormali, jei apsiėjo be normalaus skirstinio?

Paskaitykim tą Muavro-Laplaso vardu vadinamą teoremą, davusią Pasauliui normaliuoju dabar vadinamą skirstinį.

Kas ta "sqrt{npq}-neighborhood of np"?

Rusiškoje Vikipedijoje teorema suformuluota tiksliau.

Atkreipkit dėmesį į reikalavimą (-infinity < a < xm < b < +infinity).

Be jo teoremos teiginys - klaidingas.

Taip pat pažiūrėkit, kas yra xm.

np yra binominio skirstinio vidurkis.

Kaip jis atsirado, ir ko vertas, paskaitykim.

Sugrįžkim prie Moivre-Laplace teoremos ir nupieškime sritį, kurioje ji galioja.

Darbščioji Maxima tai padarė:


čia x=n, y=k, sqrt(2)*a=-45, sqrt(2)*b=15, p=2/3,q=1/3, leistinoji, teoremos sąlygas atitinkanti sritis - geltona, per tašką (0,0) einanti rausva tiesė - tai tiesė k=np, t.y., y=x/3, kitos tiesės - lygiagrečios jai.

Kai a ir b reikšmės kitos - parabolių šakos kiek kitaip išriestos, bet geltonojoje srityje telpa (judant dešinėn, parabolių nekerta ir iš geltonosios srities neišeina) tik tiesės, lygiagrečios tiesei k=np.

Kodėl tai sakau?

Teoremos teiginys kalba apie ribą, kai n=x artėja į begalybę (judama dešinėn), o k=y yra toks, kad taškas (n,k)=(x,y) neišeina iš geltonosios srities, niekada, iki pat begalybės, kuri, žinia, yra be galo toli.

Taigi, vyksta vyksmas - judama dešinėn.

Neišeidami iš geltonos srities.

Kai judame, judame tam tikra kryptimi.

Vienintelė leistina (kad neišeitume iš geltonosios srities) judėjimo kryptis - lygiagreti tiesei k=np.

Šia kryptimi judant - teoremos teiginys teisingas.

Primenu, k=np - binominio skirstinio vidurkis.

Kas yra vidurkis, žinome.

Taipogi žinome - jokia tai paslaptis - kad nueisi ten, kur eisi.

Kas toliau?

Toliau mums paišo simetriją, tiek normalaus, tiek binominio skirstinio.


Nors binominis skirstinys yra simetrinis tik tada, kai p=q=1/2:



Lengvai pastebėsite asimetriją pažvelgę į žalią brėžinį, vaizduojantį binominį skirstinį kai p=0.7.

Ji būtų akivaizdesnė jei "nesislėptų" už dviejų simetriškų paveikslėlių, vaizduojančių situaciją kai p=1/2.

Asimetrija bus tuo didesnė, kuo labiau su p reikšme tolsite nuo 1/2, į bet kurią pusę.

Tai iš kur ta simetrija Muavro-Laplaso teoremoje atsiranda?

Ji atsiranda todėl, kad judame tiesės k=np kryptimi, t.y., judame link binominio skirstinio grafiko viršūnės.

Ji apvali.

Kuo arčiau viršūnės - tuo daugiau simetrijos.

O kitur, grubiai šnekant, viskas "pripaišyta".

Šios teoremos taikymuose kabutes nuo žodžio "pripaišyta" galima drąsiai nukabinti.

Taigi, kas toliau?

Su šiuo simetriniu nesimetrinio binominio skirstinio pakaitalu, visiškai pamiršę apie geltonąją leistinąją sritį, einame ieškoti atsitiktinio dydžio pasikliautinojo intervalo (confidence interval).

Darome tai, žinoma, prisilaikydami simetrijos.

Nors galime gauti be galo daug kitų atsakymų su tuo pačiu reikšmingumo lygmeniu, rastąjį besilaikant simetrijos principo, pateikiame (ir priimame) kaip vienintelį įmanomą atsakymą.

Net neužsimindami apie kitus.

Paskui einame tikrinti hipotezių.

Jas patvirtiname arba atmetame jau griežtai prisilaikydami simetrijos principo.

Prisiminkime pradžią: simetriją gavome kai judėjome geltonąją sritimi.

Vienintelė tokia judėjimo kryptis - lygiagreti tiesei y=k=np=nx.

Šitą simetrišką kalnelį


supylėme todėl, kad visi draugiškai jį pylėme.

Mus įtikino tuo, kad supilti jį reikia.

Nuginė mus ta leistinąja sritimi.


Jei kalnelio nepiltume, tai ir nesupiltume.

Ar matėt simetrišką kalną ar bent kalnelį?

Tai šitaip nutiko su normalumu tikimybėse.

Išvis, tas žodis - normalu - juk nemūsiškas.

Visi lietuviški žodžiai šaknimi norm- iš žodžio norma:

nòrma sf. (1)

1. nustatytas kiekis, dydis: Būtina nustatyti sėjos normą sp. Laužk mano normą lapų Rm. Išdirbio nòrma DŽ.

2. tikslus nurodymas, taisyklė, nuostatas: Dorovė pagrindžiama žmonių tarpusavio sugyvenimo normomis sp. Atkaklumas, drąsa čia tapo žmogaus elgesio norma sp.

3. privalomi pristatymai: Jau ir su nòrmom spiria Užp. Mum duotą nòrmą mėsai pusę nudavėm Brsl.

Iš kur ta norma atsirado?

Norma
fem. proper name, probably from L. norma (see norm).

normal
1650, "standing at a right angle," from L.L. normalis "in conformity with rule, normal," from L. normalis "made according to a carpenter's square," from norma "rule, pattern," lit. "carpenter's square" (see norm).

Meaning "conformingt to common standards, usual" is from 1828.

Normalcy is first attested 1857, originally as a mathematical term; normality is first attested 1849.

Normal school (1834) is from Fr. école normale (1794), a republican foundation.

Čia tai staigmena - dar prieš pusantro amžiaus apsiėjom be normalumo!

Ir nenormalių tada, taip išeina, dar nebuvo?

Regis, taip ir yra:

The early 19th century saw the development of psychiatry as a recognized field.

Mental health institutions came to utilize more elaborate and, over the course of time, more humane treatment methods.

The 19th century saw a huge increase in the number of patients.

norm
"standard, pattern, model," 1821, from Fr. norme, from O.Fr., from L. norma "carpenter's square, rule, pattern," of unknown origin.

Klein suggests a borrowing (via Etruscan) of Gk. gnomon "carpenter's square."

The L. form of the word, norma, was used in Eng. in the sense of "carpenter's square" from 1676.

Kas yra carpenter's square?

Štai kas:Toks štai normos etalonas.

Kaip patinka poza?