МГУ, 13 октября 2005 года

Лекция

В. И. Арнольда

В рамках Лектория МГУ

13 октября перед университетской аудиторией выступил академик, президент Московского математического общества Владимир Игоревич Арнольд с лекцией «Экспериментальная математика и обучение ей». Впервые прослушав выступление Арнольда, посвященное вопросам математики, появляется желание разобраться в его дискуссии с миром математиков подробнее. Начав поиск со статей Владимира Игоревича о математике и закончив уже областью его научных интересов, убеждаешься, что Арнольд – личность мирового масштаба. Не то, чтобы это не казалось очевидным ранее, вовсе нет, а потому, что вещи, о которых говорил Владимир Игоревич на лекции, если и приходилось слышать дотоле, то не из первых рук. Пусть про проблемы преподавания математики в мире он и говорит не первый год, но, по крайней мере, его выступления всегда пополняются новыми примерами и, зачастую, из его личного опыта.

Любопытно, что выступать перед российской публикой, рассуждая о проблемах математики, он стал не так давно. А если говорить про лекцию, о которой сегодня идет речь, то она вообще впервые была прочитана российским коллегам. По словам Владимира Игоревича, написана она была на английском, прочитана на французском, а предназначалась для выступления 15 июня этого года перед аудиторией двух парижских университетов. Но, вернувшись в Москву, он вдруг прочитал в российской печати заявления авторитетных лиц о том, что «математика – не наука, потому что она никакого отношения к реальному не имеет.» И если ранее Арнольд считал, что с математикой в нашей стране все нормально, то сейчас появляются примеры, говорящие о том, что некоторые важные математические факты исчезают из российского образования. Какие именно, – этому Владимир Игоревич и посвятил свое выступление 13 октября в МГУ. Надо сказать, что в этот вечер собрались преимущественно ученые-математики, коллеги и соратники академика, для которых предмет разговора был очень близок и понятен.

В.И. Арнольд начал с давних споров с французскими учеными о предмете математика и о методах ее преподавания: «Основной предмет спора был в том, что я утверждал: математиком может быть только тот, кто знает, что . Французы утверждают: это знание совершенно излишне, учить надо тому, что , а 56 – это ерунда». Продолжая свою речь, академик добавил, что в недавней дискуссии с французами он пытался показать, что не только 56 важно, но еще и ряд других простых фактов, о которых те забывают.

Похожий пример академик Арнольд приводил еще в 2000 году в своих выступлениях и интервью. «Французского школьника спросили: "Сколько будет два плюс три?" И этот отличник изрек: "Два плюс три будет столько же, сколько три плюс два, потому что сложение коммутативно..." У него был компьютер, и преподаватель в школе научил им пользоваться, но суммировать "два плюс три" в уме парень не мог. Министр был потрясен и предложил убрать из всех школ преподавателей, которые учат детей компьютеру, а не математике».

Вернемся к лекции в Московском университете. Продолжая выступление, Арнольд напомнил своим коллегам перевод слова математика. Оно означает «точное знание», и единственной страной, которая пользуется данным переводом на свой язык, является Голландия. Большинство же других стран использует греческое mathematike.

На этот раз академик много времени посвятил полезности двух основных методов мышления: индукции и дедукции. Индукция – это переход от частного к общему. Дедукция – это переход от общего к частному. «Лейбниц писал, что именно дедукция есть отличие человека от животного, и на почве этого основал свое математическое доказательство бытия божьего … Есть общий закон, есть частный случай. Надо применить частный случай и получить правильный вывод. Например, закон «не убий». Вывод: даже очень надоевшую жену нельзя убить».

Однако Арнольд сказал про Лейбница, что тот был настоящим философом, но не был математиком, поэтому вся его математика – «сплошное вранье». В пример академик привел ошибочную формулу d(uv)=dudv, которую Лейбниц методом дедукции получил из верной d(u+v)=du+dv. «Лейбниц рассуждал дедуктивно: он доказал, что производная от суммы равна сумме производных, и заключил, что дифференцирование есть гомоморфизм абелевой группы, а значит и кольца, то есть производная от произведения есть произведение производных, что неверно». Арнольд потом пояснил, что Лейбниц все же исправил ошибку.

«В действительности же, рассуждая индуктивно, а не дедуктивно, мы немедленно делаем замечательные выводы!» – сказал Арнольд, а для иллюстрации привел два примера, полученных индуктивным методом и представляющие собой интересные факты. Первый касается прямого произведения границ многогранников, а второй есть некая «формула рыбака». Оба примера лектор подробно пояснил слушателям.

Возвращаясь к вопросу использования дедуктивного метода, Арнольд сформулировал метод Сильвестра – некий общефилософский принцип, согласно которому «доказательство общих фактов гораздо проще, чем доказательство частных случаев, которые в них содержатся». Арнольд сказал, что Бурбаки основываются именно на том, чтобы не излагать частные случаи, а доказывать общие. Бурбаки использовали этот метод Сильвестра, однако никогда на него не ссылаются.

Бурбаки – псевдоним, под которым группа математиков во Франции предприняла (начиная с 1939 г.) попытку изложить различные математические теории с позиций формального аксиоматического метода (многотомный трактат «Элементы математики»). Возможно, стоит сказать, что полемика Арнольда с Бурбаками идет давно, чтобы это понять, достаточно прочитать статью «Математическая дуэль вокруг Бурбаки», напечатанную в 2002 году в Вестнике РАН. Эта довольно интересная, даже полезная в некотором смысле статья помогает лучше разобраться в том, что творится в мире высокой математике и какие противоречия она в себе совмещает (прим. автора).

Из многочисленных фактов истории науки, приведенных на лекции, уважаемый математик Арнольд, видимо, стремился показать аудитории, что, несмотря на общепризнанность метода дедукции, тот порою ошибочен, когда как метод индукции приводит не только к важным выводам, но и очень полезен для саморазвития маслящего.

Примеры математического мышления и полезного индуктивного метода Владимир Игоревич привел из мировой литературы. «В «Исповеди» Авраам Руссо пишет, как его учили открывать скобки на уроках алгебры. Когда он научился открывать скобки, то нашел, что квадрат суммы равен сумме квадратов увеличенной на удвоенное произведение слагаемых. Но эта формула показалась ему настолько удивительна, что он месяц не верил, что правильно раскрыл скобки, пока не нашел понятного доказательства: разрезал большой квадрат на четыре прямоугольника, два из них квадраты – так и получил доказательство. Я думаю, что такой индуктивный путь в нашем образовании совершенно необходим для того, чтобы наши студенты что-то понимали».

Далее Арнольд погрузился в конкретные формулировки основных математических определений, понятий и теорем, которые из-за формализма, присущего современной математике, не позволяют разглядеть в себе обыкновенные факты, физические законы, и поэтому не дают полноценной пищи, так необходимой мыслящему студенту. Он привел альтернативные формулировки, которые, на его взгляд, более полезны для понимания сущности понятия.