Tai Pro Kur Oras?

Kai kandidatavau šian Seiman, kai VRK klastojo mano biografiją, o dabartinė VRK pirmininkė įkyriai reikalavo žodžio „prokuratūra" atstatytoje biografijoje atsisakyti, o, kai tik sutikau, mano senojo gerojo Peugeot 605 priekinio kairiojo rato visi penki varžtai atsisuko vos keletą kilometrų tenuvažiavus, ir tik Apvaizdos dėka neišlėkiau „prieš eismą", taipogi padariau dar vieną dalyką: kreipiaus į Lietuvos Generalinę prokuratūrą dėl Itin Degių Lietuvos Respublikos piliečių žūties tyrimo atnaujinimo.

Pro Kur Oras?

Kaip tik 2016-ji, rinkimų Seiman metai,

kai Lietuvos Generalinė prokuratūra neatsakė į šį mano raštą:

Neteisinė valstybė?

O ką gi dar turėčiau galvoti?

Jews And The Moon

Many eons ago in the ancient world, the Jews adopted the moon as the basis of the Hebrew calendar. Only isolated groups, such as members of the Judean desert cults, attempted to build the Jewish calendar around the sun but all such attempts ended with the destruction of the Second Temple, and the lunar calendar was universally accepted as the Jewish calendar.

The moon emerged as the undisputed victor in the battle for the Jewish perspective of time. While the days in Jewish culture are determined by the sun – from sunset to sunset – the calculation of the days into months depends on the “birth” of the moon.

While the pagans regarded the moon as a god in its own right, the moon’s central function in Judaism is expressed not only in the calculation of the months but also in the blessing recited at the beginning of each Jewish month – ‘Birkat HaLevana’ [the ‘Blessing of the Moon’]. The blessing praises the one God, the Holy One Blessed Be He, creator of all natural phenomena.

This also seems to be the reason that, throughout the generations, Jews drew the moon with human features, as it is considered a natural phenomenon created by God and therefore not a transgression of the prohibition against making idols or graven images.

Why Israel botched its first attempted moon landing | DW New:((

Sėkla - Tėvas:)

Pro Kur Oras?

2019 m. kovo 20 d. Teisingumo ministerija pradeda nacionalinę kandidatų į Europos prokurorus atranką.

Europos prokurorai paskiriami 6 metų kadencijai, kuri negali būti pratęsta.

Tačiau ES Taryba gali nuspręsti įgaliojimus pratęsti ne ilgesniam kaip 3 metų terminui.

Europos prokuratūra, kurios būstinė bus Liuksemburge, darbą pradės 2020 m. pabaigoje.

Liuksemburgas yra LABIAUSIAI PRASISKOLINUSI PASAULIO VALSTYBĖ.

List of countries by external debt

Rank	Country/Region	External debt US dollars	Date	Per capita US dollars	% of GDP
1	United States	1.62846×1013	December 2017	58,200	115
2	United Kingdom	8.475956×1012	31 December 2017[1]	127,000	313
3	France	5.689745×1012	31 December 2017[2]	87,200	213
4	Germany	5.398267×1012	31 December 2017[3]	65,600	141
5	Netherlands	4.5104×1012	31 December 2017[4]	26,400	522
6	Luxembourg	3.781×1012	31 December 2017[5]	6,968,000	6,307
7

Ai ai...

Red Flag On Unicorn

Unicorn

In Japan.

Ha

ha...

Look:

All Together!*

* :))

Он Напал:))

Куда попёр?

:)))

© :

Prisikabinau prie gerb.G.Vilpišausko klaidos (mano galva) jo puikioje naujoje knygoje. Vieną geriausių ryžių rūšį plovui jis vadina Lazar. O aš protestavau, nes aiškiai prisiminiau savo šių metų vasarą Taškente ir net turiu fotografiją iš Mirabado turgaus Taškente, kur ryškiai spausdintomis raidėmis - Lazer.


Tada Vilpišauskas rado ir pateikė nuorodą, kur tie ryžiai vadinami netgi Lazarj. Kaip Biblijos personažo Lozoriaus. Ir tvirtino tame pačiame Taškente matęs ryžius turguje su užrašu Lazar.
Ta proga buvau priverstas aršiau pasikapstyti po Taškento paslaptis. Ir pasirodo mes abu neteisūs.

Kaipgi yra iš tikrųjų?

Sovietų laikais Taškento ryžių selekcijos institutas išvedė naują ryžių rūšį. Siuntė atrinktas sėklas į Kubą, tie ten augino ir darė savo selekciją ir sėklas siuntė atgal į Taškentą. Ir taip kelis kartus. Pavyko kubiečiams su uzbekais išburti naują ryžių rūšį labai tinkamą plovui, bet su viena ypatybe. Jei geriausi ploviniai Devzira ryžiai yra raudonoko atspalvio, tai ši naujoji rūšis turėjo šiek tiek žydro atspalvio. Todėl sovietiniai uzbekų selekcininkai ir pavadino tuos ryžius Lazurnyj. Toks yra oficialus šios ryžių rūšies pavadinimas. Tai pirmoji paslapties dalis.

Antroji paslapties dalis ta, kad uzbekų ryžių augintojai, neišsilavinę dechkanai, tokių ilgų sudėtingų pavadinimų svetima kalba kaip Lazurnyj tiesiog negeba nei parašyti, nei ištarti. Todėl sutrumpino pavadinimus iki trumpų kažkur girdėtų – Lazer, Lazar, Lazarj.

Ryškus uzbekų polinkio gramatinėms klaidoms pavyzdys iš to pačio turgaus - Napoleono tortas...

Dvi klaidos arba Taškento paslaptys

Ech...

Приходит узбек домой, а жена его спрашивает: Как дела, Умар?

Он говорит: Плохой день у меня сегодня, Зульфия. В партию меня не приняли.

- Как не приняли?

- Спросили, состоял ли я в банде Кур-баши, я сказал что да, и не приняли.

- А зачем правду сказал, мог бы и скрыть!

- Как мог скрыть? Сам Кур-баши спрашивал.

„Startuolis Vienaragis" Japonijoj

Bloomberg
Yuji Nakamura,
2019 m. balandžio 11 d. 05:30

„Liquid Group Inc.“, Tokijuje įsikūrusi kriptovaliutos prekybos platforma, trečiadienį publikavo pranešimą spaudai, kuriame teigia pritraukusi virš milijardo dolerių rizikos kapitalo fondų, taip tapdama viena iš nedaugelio vadinamųjų startuolių vienaragių (angl. unicorn company) Japonijoje.

Ech, kokios mes

greitos:

tik 8-niom dienom tevėluojam!

Pranašus 

Išklausykit!

Моделирование

Здесь в математике разработана специальная технология, которая, в применении к реальному миру, иногда полезна, а иногда может приводить и к самообману. Эта технология называется моделированием. При построении модели происходит следующая идеализация: некоторые факты, известные лишь с некоторой долей вероятия или лишь с некоторой точностью, признаются «абсолютно» верными и принимаются за «аксиомы». Смысл этой «абсолютности» состоит ровно в том, что мы позволяем себе оперировать с этими «фактами» по правилам формальной логики, объявляя «теоремами» всё то, что из них можно вывести.

Понятное дело, что ни в какой реальной деятельности полностью полагаться на подобные дедукции невозможно. Причиной является хотя бы то, что параметры изучаемых явлений никогда не бывают известными нам абсолютно точно, а небольшое изменение параметров (например, начальных условий процесса) может совершенно изменить результат. Скажем, по этой причине надёжный долгосрочный динамический прогноз погоды невозможен и останется невозможным, сколь бы ни совершенствовались компьютеры и регистрирующие начальные условия датчики.

Совершенно таким же образом небольшое изменение аксиом (в которых ведь мы точно уверены быть не можем) способно, вообще говоря, привести к иным выводам, чем дают выведенные из принятых аксиом теоремы. И чем длиннее и искуснее цепь выводов («доказательств»), тем менее надёжен окончательный результат.

Сложные модели редко бывают полезными (разве что для диссертантов).

Математическая технология моделирования 

состоит в том, чтобы от этой неприятности отвлечься и говорить о своей дедуктивной модели так, как если бы она совпадала с реальностью. Тот факт, что этот — явно неправильный с точки зрения естествознания — путь часто приводит к полезным результатам в физике, называют «непостижимой эффективностью математики в естественных науках» (или «принципом Вигнера»).

Здесь можно добавить замечание, принадлежащее И. М. Гельфанду: существует ещё один феномен, сравнимый по непостижимости с отмеченной Вигнером непостижимой эффективностью математики в физике — это столь же непостижимая неэффективность математики в биологии.

„Gyvoji Matematika", 2019 m. balandžio 16 d., VGTU

Laba diena.

Pranešu, kad 2019.04.16 9:00 SRL-I 420 vyks seminaras (anotacija prisegta).

Pranešėjai – Eugenijus Paliokas ir Alanas Petrauskas.

Pavadinimas: Gyvoji matematika, arba kodėl reikalinga matematikos dėstymo revoliucija.

Pagarbiai
Anastasija Antul
Administratorė

Matematinio modeliavimo katedra
Fundamentinių mokslų fakultetas
Vilniaus Gedimino technikos universitetas
tel.: +370 52 74 4827, viet. 9827
Saulėtekio al. 11, SRL-I 402 kab.


„Gyvoji matematika, arba kodėl reikalinga matematikos dėstymo revoliucija“

Eugenijus Paliokas, Alanas Petrauskas*

I.M.Gelfandas, papildydamas E.Vignerio pastabą apie stebėtiną matematikos efektyvumą fizikoje, nurodė ne mažiau stebėtiną matematikos neefektyvumą biologijoje.

Kaip to išvengti?

Mokyti “nuo kito galo” – iškart paaiškinant bendrą pasaulio dualizmą: kad viskas vienu metu Akivaizdu ir Paslaptinga, Santykina ir Absoliutu, Natūralu ir Kompleksiška. Kiekvienas skaičius – kaip ir kiekvienas gyvenimo reiškinys – turi dvi puses: realią (”matomą”) ir menamą (“nematomą”). Kompleksiniai skaičiai parodo, kad viskas paprasta ir natūralu, o paprasti natūriniai skaičiai - kad viskas kompleksiška ir sudėtinga. Menamosios dalies dydis kompleksinėje plokštumoje siejamas su mūsų "dvasinėmis pastangomis pamatyti nematomą"; status polinių koordinačių toje plokštumoje kampas gali būti siejamas tik su dvasine (nematoma) plotme, visi kiti - su „dvasinės ir materialios“ plotmių kombinacijomis.

Visko esmė yra Priešybių Vienybėje – t.y. matomo ir nematomo apjungime. Taip gauname ne tik kompleksinius skaičius, bet ir funkcijas, per kurias galime paaiškinti naujos gyvybės atsiradimą. Jei priešybių niekas neriša "iš vidaus" (vidinėmis sąsajomis), tada jų suma yra "negyva", t.y. 1 + 1 = 2. Bet jei kažkas riša, tada nebebūtinai šitaip, o 1 + 1 > 2.

Matematika dažnai prasminga, tik tada, kai kalbam apie ne itin pažįstamus objektus, kuriuos galim laikyti absoliučiai vienodais ir nesąveikaujančiais (t.y., neturinčiais menamųjų koordinačių, negyvais). Realybėje viskas vienoda, tik kai “žiūrim iš toli”, o kai susipažįstam iš arčiau, tai pamatom tokius didžiulius skirtumus, kad skaičiavimas beprasmis.

Panašiai ir su negyvais objektais. Štai pieštukas erdvėje – tai vienas, bet pati erdvė aplink pieštuką – jau du. Reiškia, 1 = 2. Homogeninis vanduo – tai vienas (nes visi taškai vienodi), bet jei atsiranda sūkurinis judėjimas – tai jau du (sūkurio centras ir periferija)… Dar daugiau, erdvinį kūną galima suskaidyt į baigtinį dalių skaičių, taip kad iš tų pačių dalių surinksim jau du pradinius kūnus (Banach-Tarski paradox)… Taip parodom, kad skaičiavimas be pajautimo yra beprasmis.

Senovės filosofijoje tai buvo vadinama „mąstymu galva ir širdimi“**.

* Alanas Petrauskas yra chemijos mokslų daktaru tapęs Tarybų Sąjungos chemijos olimpiadų nugalėtojas.

Mokslininkas Alanas PETRAUSKAS diskusijoje apie miškus - MOKSLAS APTARNAUJA PRIMITYVESNĘ SĄMONĘ?

**

P.S. Kaip jau buvo, taip ir buvo.

Обучение Математике - Обучение Очковтирательству?

Памяти 

В.И. Арнольда

  3 июня 2010 г. пришла печальная весть. В Париже умер Владимир Игоревич Арнольд, замечательный математик, звезда самого высокого мирового класса.

  

  Первый раз я услышал о В. Арнольде от своей матери. Она была учительницей математики. Где-то в году 1953-54 она мне рассказывала о молодом студенте Московского Университета, которому удалось решить тринадцатую проблему Гильберта. Что это за проблема, я не знал, но этот рассказ тогда запал в память. Через много лет в Париже мне однажды довелось участвовать в работе комиссии, которая заслушивала отчет математического отдела Университета Дофин, где, как оказалось, работал по полгода В.И. Арнольд. Я представился ему, рассказав эту историю. Мы немного поговорили, и, в частности, о том, чем я занимался, и на меня произвело впечатление, как быстро и глубоко он понимал то, что я ему рассказывал. В последующие годы я ещё пару раз встречался с В. И. в Париже, но я, конечно, не могу причислить себя к кругу его знакомых. Однако он и не является для меня просто абстрактной фигурой знаменитого математика.

  

  В. И. Арнольду было всего 73 года, когда он умер. О нём уже написаны и ещё много раз будут написаны его учениками и коллегами-математиками и физиками поминальные статьи о его уникальном вкладе в современную математику и теоретическую физику. Но недавно в интернете я наткнулся на видозапись его беседы с С.П. Капицей в программе "Очевидное - невероятное" 26 декабря 2009 г., всего за пять с небольшим месяцев до его смерти, и то, что он говорил в этой беседе о математиках, математике, и её роли и нынешнем положении с математическом образованием, было так созвучно мне, и то, как молодо он там выглядел, вызвало у меня потребность вспомнить услышанное и прочитанное раньше и записать для себя и поделиться этим с другими.

  

  Я привожу здесь буквальные выдержки из его выступлений и интервью, которые я нашёл в интернете. Они взяты из разных мест и сгруппированы так, как мне показалось лучше для передачи его воззрений, которые мне интересны и созвучны. Это всё цитаты, так что я не использую кавычки. Есть только несколько моих примечаний, которые я заключил в скобки и предварил буквами Л.Я.

  

  

  ----------------О французской науке и ментальности-------------

  

  Типичный пример французской ограниченности - недавняя дискуссия в Академии Наук. Громов был ее иностранным членом, но недавно он принял французское гражданство и не мог далее оставаться иностранным членом французской Академии. Его надо было переводить в статус обычного члена Академии. Французские математики, однако, возражали, заявив, что "эти места предназначены для настоящих французов". По-моему, уровень "настоящих" французских кандидатов не мог и сравниться с уровнем Громова - одного из ведущих математиков мира. Но он до сих пор не член Академии"

  

  У французов господствует мнение, что все научные открытия и изобретения всегда создавались только ими. В центре Парижа имеется мемориальная доска "французскому изобретателю радио", а в политехническом музее - "первый" самолет с мотором (паровым). Недавно я прочитал в физическом французском журнале статью, доказывающую, что вся математическая слава Ньютона - дутая во-первых, и создана французом во-вторых (Аруэтом, более известным под своим псевдонимом: Вольтер).

  

  В апреле французское министерство по науке, а также и органы безопасности, прислали мне приглашение принять участие в работе их комиссии, которая очень важна (и потому что они знают, что я занят и не смогу прийти на заседания комиссии, то чтобы ученика прислал, который бы мое мнение там представил, так как им очень важно знать мое мнение). Вот какая комиссия, комиссия по защите наследства французской науки от иностранцев.

  

  Борьба с космополитизмом, которая была у нас в конце сороковых годов, дошла до Франции, но почему-то только сейчас. Хотя у них, конечно, очень много всякой ксенофобии и того, чтобы найти всюду, что любую вещь открыл обязательно француз. например, у них есть свой изобретатель радио - ни Попов, ни Маркони не признаются - у них есть свой памятник около Люксембургского вокзала в Париже человеку, который "изобрел радиолокацию", и так далее - все сделали французы.

  

  

  ----------------О математике и математическом образовании------------

  

  Я всегда считал, что математика - часть физики. Физика - экспериментальная, естественная наука, часть естествознания. Математика - это та часть физики, в которой эксперименты дешевы. Тождество Якоби (вынуждающее высоты треугольника пересекаться в одной точке) - такой же экспериментальный факт, как то, что Земля кругла. Но обнаружить его можно с меньшими затратами.

  

  Так же, как я считаю, нет "теоретической" науки и "прикладной". Я полностью согласен с великим Пастером, который сказал: "Прикладных наук никогда не было, нет и не будет, потому что есть наука и есть ее приложения".

  

  В середине двадцатого века была предпринята попытка разделить математику и физику. Последствия оказались катастрофическими. Выросли целые поколения математиков, незнакомых с половиной своей науки и, естественно, не имеющих никакого представления ни о каких других науках. Они начали учить своей уродливой схоластической псевдоматематике сначала студентов, а потом и школьников. Поскольку ни для преподавания, ни для приложений в каких-либо других науках схоластическая, отрезанная от физики, математика не приспособлена, результатом оказалась всеобщая ненависть к математикам - и со стороны несчастных школьников (некоторые из которых со временем стали министрами), и со стороны пользователей.

  

  Уродливое здание, построенное замученными комплексом неполноценности математиками-недоучками, не сумевшими своевременно познакомиться с физикой, напоминает стройную аксиоматическую теорию нечетных чисел. Ясно, что такую теорию можно создать и заставить учеников восхищаться совершенством и внутренней непротиворечивостью возникающей структуры (в которой определена, например, сумма нечетного числа слагаемых и произведение любого числа сомножителей). Четные же числа с этой сектантской точки зрения можно объявить ересью...

  

  К сожалению, именно подобное уродливое извращенное построение математики господствовало в преподавании математики в течение десятилетий. Возникнув первоначально во Франции, это извращение быстро распространилось на обучение основам математики сперва студентов, а потом и школьников всех специальностей (сначала во Франции, а потом и в других странах, включая Россию). Ученик французской начальной школы на вопрос "сколько будет 2+3" ответил: "3+2, так как сложение коммутативно". Он не знал, чему равна эта сумма, и даже не понимал, о чем его спрашивают!

  

  ....Во время письменного экзамена парижский студент спрашивает меня: "Профессор, я нахожусь в затруднении: скажите, четыре седьмых меньше или больше единицы?". Это студент четвертого курса, математик! Он провел сложные вычисления, решил дифференциальное уравнение и получил верную цифру - четыре седьмых. Но дальнейшие его расчеты шли двумя путями в зависимости от того, больше или меньше единицы оказывается полученный результат. Все, чему я его учил - а это дифференциальные уравнения, интегралы и так далее, - он понял, но я его не учил дробям, и дробей он не знает...

  

  Попытки создания "чистой" дедуктивно-аксиоматической математики привели к отказу от обычной в физике схемы (наблюдение - модель - исследование модели - выводы - проверка наблюдениями) и замена ее схемой: определение - теорема - доказательство. Понять немотивированное определение невозможно, но это не останавливает преступных алгебраистов-аксиоматизаторов.

  

  Попытки обойтись без этого вмешательства физики и реальности в математику - сектанство и изоляционизм, разрушающие образ математики как полезной человеческой деятельности в глазах всех разумных людей. Если математики не образумятся сами, то потребители, сохранившие как нужду в современной в лучшем смысле слова математической теории, так и свойственный каждому здравомыслящему человеку иммунитет к бесполезной аксиоматической болтовне, в конце концов откажутся от услуг схоластов-недоучек и в университетах, и в школах.

  

  -----------------------Об образовании-------------------------

  

  Мне кажется, что во всем мире образованию мешает поспешная демократизация науки. Легко создается ситуация, при которой решение принимается наименее квалифицированным большинством. Американские ученые считают, что падение уровня школьного образования в США произошло именно таким демократическим путем. Все очень просто: большинство родителей хочет, чтобы их дети были счастливы. А большинство детей, учащихся в школе, предпочитают бездельничать, не сдавать экзамены, выбирать "легкие" предметы и т.п. Мой племянник, оканчивая среднюю школу в США, радостно заменил себе школьный курс алгебры курсом истории джаза.

  

  Американские коллеги объяснили мне, что низкий уровень общей культуры и школьного образования в их стране - сознательное достижение ради экономических целей. Дело в том, что, начитавшись книг, образованный человек становится худшим покупателем: он меньше покупает и стиральных машин, и автомобилей и начинает предпочитать им Моцарта или Ван Гога, Шекспира или теоремы. От этого страдает экономика общества потребления и, прежде всего, доходы хозяев жизни - вот они и стремятся не допустить культурности и образованности (которые, вдобавок, мешают им манипулировать населением, как лишённым интеллекта стадом).

  

  .......Штат Калифорния в США недавно принял решение: поступающие в университеты штата должны уметь делить число 111 на три - без компьютера. Любопытно, что федеральное правительство попыталось запретить это требование как неконституционное. Один сенатор заявил, что он никому не позволит учить кого-либо в своей стране чему-либо, чего он не понимает. А вот и результат. Американское математическое общество опубликовало статистику, согласно которой число учителей математики в средних школах США, умеющих делить число "полтора" на "четверть", составляет от одного до двух процентов от количества всех учителей........

  

  ......Математика сейчас - первый кандидат на уничтожение. Компьютерная революция позволяет заменить образованных рабов невежественными. Правительства всех стран начали исключать математические науки из программ средней школы. Руководство биологического факультета университета в Геттингене обратилось к математикам с просьбой прочесть студентам курс теории чисел. Математики, сперва озадаченные этим предложением, обнаружили, что под теорией чисел биологи понимали сложение простых дробей. Многие геттингенские студенты предпочитают складывать числители с числителями и знаменатели со знаменателями, подобно американским студентам: 1/3 + 1/2 = 2/5.

  

  Российское правительство пытается довести преподавание математики в средних школах до американских стандартов. Проект состоит в том, чтобы вдвое уменьшить число часов, отводимое на математику, а высвободившиеся часы использовать для обучения мальчиков коневодству, а девочек - макраме.

  

  Учитывая взрывной рост всевозможных псевдонаук (вроде астрологии) во многих странах, в грядущем столетии вполне вероятно наступление новой эры обскурантизма, подобной средневековью. Hынешний расцвет науки может смениться необратимым спадом, подобным тому, который произошел с живописью в период после итальянского Возрождения.

  

  К несчастью, я не могу отрицать виновности математического сообщества в современном неприятии математики общественным сознанием.

  

  ----------------------О математиках-----------------------

  

  Математики в основном бывают двух типов - "левые" и "правые". Два полушария мозга - левое и правое - анатомически различны и "заведуют" разными областями человеческой деятельности. Грубо говоря, одно полушарие скорее "логическое и алгебраическое", а второе - "геометрическое". Левое полушарие отвечает за последовательности, например, за умножение многозначных чисел, за логические, длинные рассуждения, а правое - за то, чтобы не заблудиться в лесу и в городе, оно также заведует эмоциями. Практически любую задачу можно решать и алгебраически и геометрически. Но, как правило, одни решают так, другие иначе. Есть математики, совершенно неспособные к "правополушарному", "гуманитарному" мышлению, к образному восприятию действительности, они умеют только умножать.

  

  И.Г.Петровский, учил меня в 1966 году: настоящие математики не сбиваются в шайки, но слабым шайки необходимы, чтобы выжить. Они могут объединяться по разным принципам (будь то сверхабстрактность, антисемитизм или "прикладная и индустриальная" проблематика), но сущностью всегда остается решение социальной проблемы - самосохранение в условиях более грамотного окружения. В те времена я относился к словам Петровского с некоторым сомнением, но теперь я все более и более убеждаюсь, насколько он был прав. Значительная часть сверхабстрактной деятельности сводится просто к индустриализации беззастенчивого отнимания открытий у первооткрывателей и их систематическому приписыванию эпигонам--обобщателям.

  

  Поучительно, что открытая Пуанкаре и разработанная Андроновым теория рождения предельных циклов из теряющих устойчивость положений равновесия называется сегодня обычно (даже в России) бифуркацией Хопфа. Э.Хопф опубликовал часть этой теории через пару десятков лет после публикации Андронова и более, чем через полвека после Пуанкаре, но он в отличие от них жил в Америке. Подобно тому, как Америка не носит имя Колумба, математические результаты почти никогда не называются именами их открывателей. Проф. М. Берри сформулировал однажды следующие два принципа:

  

  * Принцип Арнольда: Если какое-либо понятие имеет персональное имя, то это - не имя первооткрывателя.

  * Принцип Берри: Принцип Арнольда применим к самому себе.

  

  Во избежание кривотолков должен заметить, что мои собственные достижения почему-то никогда не подвергались подобной экспроприации, хотя это постоянно случалось и с моими учителями (Колмогоровым, Петровским, Понтрягиным, Рохлиным) и с учениками.

  

  ---------------------Витте-----------------------

  

  В истории России был премьер-министр с математическим образованием (окончивший Санкт-Петербургский университет по математике в школе Чебышева).

  

  После окончания университета Витте не нашел работы по специальности и принял предложение частной компании стать начальником дистанции на Юго-Западной железной дороге. Для занятия этого поста ему пришлось по неделе простажироваться в должности каждого из своих подчиненных (стрелочника, путевого обходчика, багажного раздатчика, билетного кассира, кочегара, машиниста, начальника станции...) - неоценимый опыт для будущего премьер-министра. Однажды царский поезд, следующий в Крым, был замедлен по приказу Витте на его дистанции. Несмотря на возмущение Александра III, машинист подчинился не его приказу, а приказу своего начальника дистанции. Когда поезд перешел на следующую, уже не подчинявшуюся Витте дистанцию, скорость была, естественно, повышена. Вскоре царский поезд сошел с рельсов и опрокинулся (катастрофа у станции Борок). Царь запомнил имя непокорного начальника дистанции, и Витте был назначен министром (кажется, путей сообщения), а впоследствии стал и премьер-министром.

  

  Но Витте лучше разбирался в реальной жизни страны и в проблемах экономики и техники, чем в политических интригах (к которым больший талант имеют люди левополушарные). С приходом к власти деятелей типа Распутина он был отправлен в отставку. Витте вновь призывался к власти для ликвидации критических ситуаций, созданных политиками (Русско-японская война, революция 1905 года), я даже предполагаю, что если бы Витте оставался руководителем России в течение следующего десятилетия, то наша история была бы совсем иной: не было бы ни мировой войны, ни революции и мы жили бы сейчас, как Финляндия или Швеция...

  

  -------------------Лузин-------------------------

  

  Основатель Московского Математического общества Н. Бугаев (отец Андрея Белого) послал молодых москвичей в Париж, чтобы они выучились там новой "математике свободной воли" (у Бореля и Лебега). Эту программу блестяще выполнил Н. Н. Лузин, создавший по возвращении в Москву блестящую школу, включающую всех основных московских математиков многих десятилетий: Колмогорова и Петровского, Александрова и Понтрягина, Меньшова и Келдыш, Новикова и Лаврентьева, Гельфанда и Люстерника. Между прочим, Колмогоров рекомендовал мне впоследствии выбранную себе Лузиным в Латинском квартале Парижа гостиницу "Паризиана" (на улице Турнефор, недалеко от Пантеона). Во время Первого Европейского Математического Конгресса в Париже (1992) я остановился в этой недорогой гостинице (с удобствами на уровне XIX века, без телефона и так далее). И престарелая хозяйка этой гостиницы, узнав, что я приехал из Москвы, сейчас же спросила меня: "А как там поживает мой старый постоялец, Лузин? Жалко, что он давно не навещал нас" (Лузин умер в 1950 году).

  

  Через пару лет гостиницу закрыли на ремонт (хозяйка, вероятно, умерла) и стали перестраивать на американский лад, так что теперь этот островок XIX века в Париже уже не увидишь.

  

  -----------------------Колмогоров------------------------------

  

  Из всех учеников Лузина наиболее замечательный вклад в науку внёс, по моему мнению, Андрей Николаевич Колмогоров. Выросший в деревне у деда под Ярославлем, Андрей Николаевич с гордостью относил к себе слова Гоголя "расторопный рославский мужик".

  

  Стать математиком он вовсе не собирался, даже уже поступив в Московский Университет, где он сразу же стал заниматься историей (в семинаре профессора Бахрушина) и, не достигнув и двадцати лет, написал свою первую научную работу. Эта работа была посвящена исследованию земельных экономических отношений в средневековом Новгороде. Доклад был очень удачным, и докладчика много хвалили. Но он настаивал на другом одобрении: ему хотелось, чтобы его выводы были признаны правильными.

  

  В конце концов Бахрушин сказал ему: "Этот доклад обязательно нужно опубликовать; он очень интересен. Но что касается выводов, то у нас, историков, для признания какого-либо вывода всегда нужно не одно доказательство, а по меньшей мере пять!". На следующий день Колмогоров сменил историю на математику, где одного доказательства хватает.

  

  Андрей Николаевич Колмогоров смолоду был школьным учителем (в школе на Потылихе), и столь успешным, что надеялся, что школьники изберут его (тогда избирать - это было обычным) своим классным руководителем. Но на выборах победил учитель физкультуры - это школьникам ближе. На Колмогорова оказанное школьниками учителю физкультуры предпочтение повлияло так: он стал гораздо больше заниматься спортом, много бегал на лыжах, плавал на лодках по далёким рекам, стал завзятым путешественником (и достиг одобрения хотя и не своих потылихинских учеников, но многих поколений сначала студентов МГУ, а потом и школьников созданного им Интерната).

  

  Сделавшись профессиональным математиком, Колмогоров остался, в отличие от большинства из них, прежде всего естествоиспытателем и мыслителем, а вовсе не умножателем многозначных чисел (что главным образом представляется при анализе деятельности математиков незнакомым с математикой людям, включая даже Л.Д. Ландау, ценившего в математике именно продолжение счётного мастерства: пятью пять - двадцать пять, шестью шесть - тридцать шесть, семью семь - сорок семь, как я прочитал в пародии на Ландау, составленной его физтеховскими учениками; впрочем, в письмах Ландау ко мне, бывшему тогда студентом, математика не логичнее, чем в этой пародии.

  

  Колмогорова, в отличие от многих других, прикладная, "локомотивная" математика никогда не отпугивала, и он радостно применял математические соображения к самым разным областям человеческой деятельности: от гидродинамики до артиллерии, от небесной механики до стихосложения, от миниатюризации компьютеров до теории броуновского движения, от расходимости рядов Фурье до теории передачи информации и до интуиционистской логики. Он смеялся тому, что французы пишут "Небесная механика" с заглавной буквы, а "прикладная" - с малой.

  

  Но сам Колмогоров всегда несколько скептически относился к своей любимой математике, воспринимая её как маленькую часть естествознания и легко отказываясь от тех логических ограничений, которые накладывают на правоверных математиков путы аксиоматически-дедуктивного метода. "Было бы напрасно, - говорил он мне, - искать в моих работах о турбулентности математическое содержание. Я выступаю здесь как физик и совершенно не забочусь о математических доказательствах или выводах своих заключений из исходных предпосылок, вроде уравнений Навье-Стокса. Пусть эти заключения не доказаны - зато они верны и открыты, а это куда важнее, чем доказать их!"

  

  Влияние Колмогорова на всё развитие математики в России остаётся и сегодня совершенно исключительным. Я говорю не только о его теоремах, решающих подчас тысячелетние задачи, но и создании им замечательного культа науки и просвещения, напоминающего о Леонардо и Галилее. Андрей Николаевич открыл множеству людей огромные возможности употребить свои интеллектуальные усилия для фундаментальных открытий новых законов природы и общества, причём вовсе не только в области математики, а во всех областях человеческой деятельности: от космических полётов до управляемых термоядерных реакций, от гидродинамики до экологии, от теории рассеивания артиллерийских снарядов до теории передачи информации и теории алгоритмов, от стиховедения до истории Новгорода, от законов подобия Галилея до задачи трёх тел Ньютона.

  

  Ньютон, Эйлер, Гаусс, Пуанкаре, Колмогоров - всего пять жизней отделяют нас от истоков нашей науки.

  

  -------------------------------------------------------------------------------

  (Л. Я. Вот что я прочёл среди прочего в статье А. Н. Ширяева "Жизнь в поисках истины, к 100 летию со дня рождения А.Н. Колмогорова" (http://vivococo.astronet.ru/VV/JOURNAL/NATURE/04_03/KOLMOGOROV.:

  

  "Есть в этом дневнике (речь идёт о дневнике Колмогорова, который он вёл в эвакуации в Казани в 1943 г.) ... замечательная страница, которую Колмогоров озаглавил: "Конкретный план того, как сделаться великим человеком, если на это хватит охоты и усердия" . Там по годам расписаны - до 1984-1993 (на 50 лет! вперёд в возрасте 40 лет), какие курсы разработать и когда, какими проблемами заниматься и когда, и, в частности, подготовка полного собрания сочинений к 70-летию со дня рождения и после этого написание воспоминаний о прожитой жизни.

  

  Колмогоров, конечно, великий математик. Но после этой записи в дневнике мне не ясно, что в этом величии от науки, а что от внушения поведением. Облик Колмогорова после этой записи несколько поблёк в моём сознании.)

  

А вот что я вычитал в интернете о Лузине и Колмогорове и других его его учениках (http://www.math.nsc.ru/LBRT/g2/english/ssk/case.html) :

В 1999 году по математическому миру России прошло цунами - вышла в свет книга 'Дело академика Николая Николаевича Лузина'. Впервые были полностью приведены сохранившиеся с 1936 года в архивах канцелярии стенограммы заседаний Комиссии Академии наук СССР.

Комиссия была создана по следам статьи "О врагах в советской маске", появившейся в газете "Правда" 3 июля 1936 года. В ней Лузин обвинен во всех мыслимых для ученого грехах и нарисован врагом, сочетающим "моральную нечистоплотность и научную недобросовестность с затаенной враждой, ненавистью ко всему советскому". Он печатает "якобы научные статьи", "не стесняется выдавать за свои достижения открытия своих учеников", он недалек от черносотенства, православия и самодержавия, "может быть, чуть-чуть фашистки модернизированных". Про статью в "Правде" и разгром "лузинщины" хорошо знали все ученые старшего поколения. Из вновь опубликованных архивных материалов всем стало ясно, что активными участниками политической травли Лузина выступили некоторые его ученики. Главную роль при этом играл П. С. Александров, глава московской топологической школы. Активное участие в заседаниях принимали А. Н. Колмогоров, Л. А. Люстерник, А. Я. Хинчин, Л. Г. Шнирельман. Политическое нападение на Лузина энергично поддержали члены Комиссии С. Л. Соболев (1907-1989) и О. Ю. Шмидт (1891-1956). В защиту Лузина отважно выступали А. Н. Крылов (1863-1945) и С. Н. Бернштейн (1880-1968)).

  

  ----------------------К. Вейерштрасс-----------------

  

  Интересно, что в качестве учителя физкультуры в школе начинал свою деятельность другой великий математик, К. Вейерштрасс. Он, по словам Пуанкаре, особенно успешно обучал своих гимназистов работе на параллельных брусьях. Но прусские правила требовали от гимназического учителя представлять в конце года письменный труд, доказывающий его профессиональную пригодность. И Вейерштрасс представил сочинение об эллиптических функциях и интегралах. Это сочинение в гимназии никто не смог понять, так что его отправили для оценки в университет. И очень скоро автора перевели туда, где он быстро стал одним их самых выдающихся и знаменитых математиков столетия, как в Германии, так и в мире.

  

  Из российских математиков его прямой ученицей была Софья Ковалевская, главное достижение которой, впрочем, было не подтверждением, а опровержением точки зрения учителя (который предлагал ей доказать отсутствие новых первых интегралов в задаче о вращении твёрдого тела вокруг неподвижной точки, а она эти интегралы нашла, анализируя причины неудачи своих попыток доказать предположение любимого учителя).

  

  -------------------------Виет---------------------

  

  Создатель современной алгебры Виет был шифровальщиком французского короля Генриха IV. Между прочим, это он обозначал редкими буквами (x, y, z) еще нерасшифрованные буквы кода противника.

  

  ------------------------Эйлер-------------------------

  

  Эйлеру повезло (Л.Я. см. ниже о происхождении самого В.И. Арнольда): он родился в маленькой тихой Швейцарии, куда изо всей Европы приезжали мастера и ученые, не желавшие тратить дорогое рабочее время на гражданские смуты или религиозные распри. Так переселилась в Базель из Голландии семья Бернулли: уникальное созвездие научных талантов во главе с братьями Якобом и Иоганном. По воле случая юный Эйлер попал в эту компанию и вскоре сделался достойным членом базельского "питомника гениев".

  

  Братья Бернулли увлеклись математикой, прочтя статьи Лейбница об исчислении производных и интегралов. Вскоре вокруг братьев сложился яркий математический кружок, и на полвека Базель стал третьим по важности научным центром Европы - после Парижа и Лондона, где уже процветали академии наук. Каждый год на кружке решались новые трудные и красивые задачи, а на смену им вставали новые увлекательные проблемы. Но когда ученые орлята подросли, выяснилось, что в Швейцарии не хватит места для их гнезд. Зато в далекой России, по замыслу Петра 1 и по проекту Лейбница, была учреждена в 1725 году Петербургская Академия Наук. Русских ученых не хватало, и тройка друзей: Леонард Эйлер с братьями Даниилом и Николаем Бернулли (сыновьями Иоганна) - отправилась туда, в поисках счастья и научных подвигов.

  

  

  ------------------------Харди и Манин----------------------------

  

  Я (Л.Я.: то есть В. И. Арнольд) хочу здесь процитировать одно высказывание, которое я недавно прочитал в изданной только что в Ижевске книжке Харди "Апология математика". Ужасная книжка совершенно, кошмарно безграмотный человек, который пишет, в частности, следующие вещи. Он пишет похвалу Гауссу, что Гаусс очень много занимался теорией чисел и что теория чисел справедливо называется королевой математики (я бы сказал, царицей математики даже, но он, по-моему, говорит "королевой"). Харди объясняет почему теория чисел является королевой математики. Вот это объяснение Харди, которое недавно повторил Юрий Иванович Манин. Замечательное объяснение Харди таково: теория чисел является, он говорит, королевой математики вследствие своей полной бесполезности.

  

  Но у Юрия Ивановича немножко не так, он объясняет другое: математика вся вообще является резвычайно полезной наукой не потому, что, как говорят некоторые - это я (Л.Я.: т.е. В.И. Арнольд) на самом деле, - что математика способствует прогрессу техники, человечества и так далее, нет; потому, что она препятствует этому прогрессу, вот в чем ее заслуга, вот основная проблема современной науки - препятствовать прогрессу, и математика в первую очередь это и делает, потому что, если бы ферматисты, вместо того чтобы доказывать теорему Ферма, строили самолеты, автомобили, они бы гораздо больше вреда причинили. А так математика отвлекает, отвлекает на какие-то глупые, никому не нужные задачи, и тогда все в порядке.

  

  Манин утверждает, что математика - это своего рода лингвистика с несколько расширенным списком грамматических правил, включающим, скажем, что 1 + 2 = 3, а обучение математике - обучение очковтирательству, так как тождественными преобразованиями, которыми только и занимаются математики, открыть ничего нового нельзя.

----------------------------------Перельман-----------------------------

(Л.Я. Перельман - петербургский математик, нашедший недавно доказательство одной топологической гипотезы Пуанкаре, считаюшейся в математике одной из самых фундаментальных. Широкой публике он стал известен благодаря экстраванантному отказу от ряда очень престижных и весомых во всех отношениях премий. Вот что я недавно (начало сентября 2010) прочёл об этом в одном из последних интервью Арнольда "Опасаться компетентных соперников очень естественно для начальников", которое много говорит также и о нравах в современном математическом сообществе):

'Интервьюер: А почему, с Вашей точки зрения, бывший сотрудник Вашего института Григорий Перельман отказался от международной премии в миллион долларов, давно объявленной за доказанную им теорему?

Арнольд: Он вовсе не отказывался, ее ему не присудили, потому что он не написал о своем решении теоремы книги. А теперь такую книгу (о решении Перельмана) пишет в США китайский математик Яо, многое укравший ранее у других и получивший Фильдсовскую медаль и премию. За эту книгу они и собираются дать ему миллион долларов (по Уставу Фонда- через два года после публикации книги). Другая фирма уже заплатила ему другой миллион - за то, чтобы он книгу о работе Перельмана написал.

Все подробности вы можете найти в 15-страничной статье об этом в журнале The New Yorker от 28 августа 2006 года. Сергей Новиков отказался перепечатать ее в московском журнале "Успехи математических наук", где он- главный редактор, а я - предлагавший статью член редколлегии. По моему мнению, отказался он потому, что боится мести со стороны Яо (ведь Новиков работает в США). Я Яо не боюсь, он уже пытался и меня съесть, мстя за разоблачение его интриг, но всего лишь украл замечательную работу у моего ученика Александра Гивенталя, чем себя опозорил, а Гивенталя прославил"

  -------------------------О себе----------------------------

  

  Интерес к математике появился рано. Помню на уроке учитель дал задачку, я над ней долго думал и решил только на следующий день. Причем смог это сделать лишь я один. Это было в пятом классе. Задача, казалось бы, очень простая. Из города А в город Б и из города Б в город А на рассвете одновременно вышли две старушки. В 12 часов они встретились. Потом продолжили свой путь. Одна пришла в конечный пункт в 4 часа дня, а другая - в 9 вечера. Вопрос: в каком часу рассвело в этот день?.. Прекрасная задача, замечательная! На меня она произвела сильнейшее впечатление. Позже я делал разные математические открытия, но удовольствие получал точно такое же, как тогда в пятом классе, когда я нашел решение задачки со старушками..

  

  

  (Л.Я. Я думаю, что В. И. Арнольду не могли не способствовать и его "начальные условия". Вот сведения о его семье, почерпнутые мной из его биографии в Википедиа.

   * Отец Игорь Владимирович Арнольд (1900-1948), - математик и методист, доктор педагогических наук, член-корреспондент АПН РСФСР, профессор МГУ

   * Дед по отцовской линии - экономист и статистик Владимир Фёдорович Арнольд, народник, автор ряда научных публикаций.

   * В. И. Арнольд по отцовской линии - внучатый племянник писателя Б. С. Житкова (Вера Степановна Житкова (Арнольд) была матерью И. В. Арнольда).

   * Мать - искусствовед, сотрудница Пушкинского музея Нина Александровна Арнольд (урождённая Исакович).

   * Дед по материнской линии - Александр Соломонович Исакович (расстрелян в 1938 году) - адвокат, научный сотрудник и заведующий учебной частью Одесского НИИ холодильной промышленности.

   * В. И. Арнольд по материнской линии - племянник физиков Михаила Александровича Исаковича, заведующего теоретическим отделом Акустического института АН СССР, и Натальи Александровны Райской (урождённой Исакович), редактора отдела физики Всесоюзной государственной библиотеки научной литературы, и внучатый племянник физика академика Л. И. Мандельштама (брат бабушки В. И. Арнольда - Элеоноры Исааковны Исакович, урождённой Мандельштам).

   Как-то, читая биографию математика Николая Бернулли, изданную в серии "Научные биографии" в прежнем Физматгизе, я обратил внимание на замечание составителя в его предисловии: "Пример Николая Бернулли ярко показывает, как важны в жизни человека начальные условия". Дело в том, что представители семьи Бернулли занимали кафедру в Университете Базеля в течение 150 лет.).

МГУ, 13 октября 2005 года

Лекция

В. И. Арнольда

В рамках Лектория МГУ

13 октября перед университетской аудиторией выступил академик, президент Московского математического общества Владимир Игоревич Арнольд с лекцией «Экспериментальная математика и обучение ей». Впервые прослушав выступление Арнольда, посвященное вопросам математики, появляется желание разобраться в его дискуссии с миром математиков подробнее. Начав поиск со статей Владимира Игоревича о математике и закончив уже областью его научных интересов, убеждаешься, что Арнольд – личность мирового масштаба. Не то, чтобы это не казалось очевидным ранее, вовсе нет, а потому, что вещи, о которых говорил Владимир Игоревич на лекции, если и приходилось слышать дотоле, то не из первых рук. Пусть про проблемы преподавания математики в мире он и говорит не первый год, но, по крайней мере, его выступления всегда пополняются новыми примерами и, зачастую, из его личного опыта.

Любопытно, что выступать перед российской публикой, рассуждая о проблемах математики, он стал не так давно. А если говорить про лекцию, о которой сегодня идет речь, то она вообще впервые была прочитана российским коллегам. По словам Владимира Игоревича, написана она была на английском, прочитана на французском, а предназначалась для выступления 15 июня этого года перед аудиторией двух парижских университетов. Но, вернувшись в Москву, он вдруг прочитал в российской печати заявления авторитетных лиц о том, что «математика – не наука, потому что она никакого отношения к реальному не имеет.» И если ранее Арнольд считал, что с математикой в нашей стране все нормально, то сейчас появляются примеры, говорящие о том, что некоторые важные математические факты исчезают из российского образования. Какие именно, – этому Владимир Игоревич и посвятил свое выступление 13 октября в МГУ. Надо сказать, что в этот вечер собрались преимущественно ученые-математики, коллеги и соратники академика, для которых предмет разговора был очень близок и понятен.

В.И. Арнольд начал с давних споров с французскими учеными о предмете математика и о методах ее преподавания: «Основной предмет спора был в том, что я утверждал: математиком может быть только тот, кто знает, что . Французы утверждают: это знание совершенно излишне, учить надо тому, что , а 56 – это ерунда». Продолжая свою речь, академик добавил, что в недавней дискуссии с французами он пытался показать, что не только 56 важно, но еще и ряд других простых фактов, о которых те забывают.

Похожий пример академик Арнольд приводил еще в 2000 году в своих выступлениях и интервью. «Французского школьника спросили: "Сколько будет два плюс три?" И этот отличник изрек: "Два плюс три будет столько же, сколько три плюс два, потому что сложение коммутативно..." У него был компьютер, и преподаватель в школе научил им пользоваться, но суммировать "два плюс три" в уме парень не мог. Министр был потрясен и предложил убрать из всех школ преподавателей, которые учат детей компьютеру, а не математике».

Вернемся к лекции в Московском университете. Продолжая выступление, Арнольд напомнил своим коллегам перевод слова математика. Оно означает «точное знание», и единственной страной, которая пользуется данным переводом на свой язык, является Голландия. Большинство же других стран использует греческое mathematike.

На этот раз академик много времени посвятил полезности двух основных методов мышления: индукции и дедукции. Индукция – это переход от частного к общему. Дедукция – это переход от общего к частному. «Лейбниц писал, что именно дедукция есть отличие человека от животного, и на почве этого основал свое математическое доказательство бытия божьего … Есть общий закон, есть частный случай. Надо применить частный случай и получить правильный вывод. Например, закон «не убий». Вывод: даже очень надоевшую жену нельзя убить».

Однако Арнольд сказал про Лейбница, что тот был настоящим философом, но не был математиком, поэтому вся его математика – «сплошное вранье». В пример академик привел ошибочную формулу d(uv)=dudv, которую Лейбниц методом дедукции получил из верной d(u+v)=du+dv. «Лейбниц рассуждал дедуктивно: он доказал, что производная от суммы равна сумме производных, и заключил, что дифференцирование есть гомоморфизм абелевой группы, а значит и кольца, то есть производная от произведения есть произведение производных, что неверно». Арнольд потом пояснил, что Лейбниц все же исправил ошибку.

«В действительности же, рассуждая индуктивно, а не дедуктивно, мы немедленно делаем замечательные выводы!» – сказал Арнольд, а для иллюстрации привел два примера, полученных индуктивным методом и представляющие собой интересные факты. Первый касается прямого произведения границ многогранников, а второй есть некая «формула рыбака». Оба примера лектор подробно пояснил слушателям.

Возвращаясь к вопросу использования дедуктивного метода, Арнольд сформулировал метод Сильвестра – некий общефилософский принцип, согласно которому «доказательство общих фактов гораздо проще, чем доказательство частных случаев, которые в них содержатся». Арнольд сказал, что Бурбаки основываются именно на том, чтобы не излагать частные случаи, а доказывать общие. Бурбаки использовали этот метод Сильвестра, однако никогда на него не ссылаются.

Бурбаки – псевдоним, под которым группа математиков во Франции предприняла (начиная с 1939 г.) попытку изложить различные математические теории с позиций формального аксиоматического метода (многотомный трактат «Элементы математики»). Возможно, стоит сказать, что полемика Арнольда с Бурбаками идет давно, чтобы это понять, достаточно прочитать статью «Математическая дуэль вокруг Бурбаки», напечатанную в 2002 году в Вестнике РАН. Эта довольно интересная, даже полезная в некотором смысле статья помогает лучше разобраться в том, что творится в мире высокой математике и какие противоречия она в себе совмещает (прим. автора).

Из многочисленных фактов истории науки, приведенных на лекции, уважаемый математик Арнольд, видимо, стремился показать аудитории, что, несмотря на общепризнанность метода дедукции, тот порою ошибочен, когда как метод индукции приводит не только к важным выводам, но и очень полезен для саморазвития маслящего.

Примеры математического мышления и полезного индуктивного метода Владимир Игоревич привел из мировой литературы. «В «Исповеди» Авраам Руссо пишет, как его учили открывать скобки на уроках алгебры. Когда он научился открывать скобки, то нашел, что квадрат суммы равен сумме квадратов увеличенной на удвоенное произведение слагаемых. Но эта формула показалась ему настолько удивительна, что он месяц не верил, что правильно раскрыл скобки, пока не нашел понятного доказательства: разрезал большой квадрат на четыре прямоугольника, два из них квадраты – так и получил доказательство. Я думаю, что такой индуктивный путь в нашем образовании совершенно необходим для того, чтобы наши студенты что-то понимали».

Далее Арнольд погрузился в конкретные формулировки основных математических определений, понятий и теорем, которые из-за формализма, присущего современной математике, не позволяют разглядеть в себе обыкновенные факты, физические законы, и поэтому не дают полноценной пищи, так необходимой мыслящему студенту. Он привел альтернативные формулировки, которые, на его взгляд, более полезны для понимания сущности понятия.

Palais de Découverte, Paris, 7 mars 1997

 Palais de Découverte,

Paris

1997:  atidengtas geografinį Europos centrą 

žymintis akmuo tarp Purnuškių ir Bernotų kaimų. Šį centrą 1989 metais nustatė Prancūzijos nacionalinės geografijos institutas.

О ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ ¹

В.  И.  Арнольд

Математика — часть физики. Физика — экспериментальная, естественная наука, часть естествознания. Математика — это та часть физики, в которой эксперименты дёшевы.

Тождество Якоби (вынуждающее высоты треугольника пересекаться в одной точке) — такой же экспериментальный факт, как то, что Земля кругла (т.е. гомеоморфна шару). Но обнаружить его можно с меньшими затратами.

В середине двадцатого века была предпринята попытка разделить математику и физику. Последствия оказались катастрофическими. Выросли целые поколения математиков, незнакомых с половиной своей науки и, естественно, не имеющих никакого представления ни о каких других науках. Они начали учить своей уродливой схоластической псевдоматематике сначала студентов, а потом и школьников (забыв о предупреждении Харди, что для уродливой математики нет постоянного места под Солнцем).

Поскольку ни для преподавания, ни для приложений в каких-либо других науках схоластическая, отрезанная от физики, математика не приспособлена, результатом оказалась всеобщая ненависть к математикам — и со стороны несчастных школьников (некоторые из которых со временем стали министрами), и со стороны пользователей.

Уродливое здание, построенное замученными комплексом неполноценности математиками-недоучками, не сумевшими своевременно познакомиться с физикой, напоминает стройную аксиоматическую теорию нечётных чисел. Ясно, что такую теорию можно создать и заставить учеников восхищаться совершенством и внутренней непротиворечивостью возникающей структуры (в которой определена, например, сумма нечётного числа слагаемых и произведение любого числа сомножителей). Чётные же числа с этой сектантской точки зрения можно либо объявить ересью, либо со временем ввести в теорию, пополнив её (уступая потребностям физики и реального мира) некоторыми «идеальными» объектами.

К сожалению, именно подобное уродливое извращённое построение математики господствовало в преподавании математики в течение десятилетий. Возникнув первоначально во Франции, это извращение быстро распространилось на обучение основам математики сперва студентов, а потом и школьников всех специальностей (сперва во Франции, а потом и в других странах, включая Россию).

Ученик французской начальной школы на вопрос «сколько будет 2+3» ответил: «3+2, так как сложение коммутативно». Он не знал, чему равна эта сумма, и даже не понимал, о чем его спрашивают!

Другой французский школьник (на мой взгляд, вполне разумный) определил математику так: «там есть квадрат, но это нужно ещё доказать».

По моему преподавательскому опыту во Франции, представление о математике у студентов (вплоть даже до обучающихся математике в École Normale Supérieure — этих явно неглупых, но изуродованных ребят мне жалко больше всего) — столь же убого, как у этого школьника.

Например, эти студенты никогда не видели параболоида, а вопрос о форме поверхности, заданной уравнением xy = z², вызывает у математиков, обучающихся в ENS, ступор. Нарисовать на плоскости кривую, заданную параметрическими уравнениями (вроде x = t³ – 3t,y = t⁴ – 2t²) — задача совершенно невыполнимая для студентов (и, вероятно, даже для большинства французских профессоров математики).

Начиная с первого учебника анализа Лопиталя («анализ для понимания кривых линий») и примерно до учебника Гурса, умение решать подобные задачи считалось (наряду со знанием таблицы умножения) необходимой частью ремесла каждого математика.

Обиженные Богом ревнители «абстрактной математики» выбросили из преподавания всю геометрию (через которую в математике чаще всего осуществляется связь с физикой и реальностью). Учебники анализа Гурса, Эрмита, Пикара недавно были выброшены на свалку студенческой библиотекой Университетов Париж 6 и 7 (Жюсье) как устаревшие и потому вредные (только благодаря моему вмешательству удалось их спасти).

Студенты ENS, прослушавшие курсы дифференциальной и алгебраической геометрии (прочитанные уважаемыми математиками), оказались незнакомыми ни с римановой поверхностью эллиптической кривой y² = x³ + ax + b, ни вообще с топологической классификацией поверхностей (не говоря уже об эллиптических интегралах первого рода и о групповом свойстве эллиптической кривой, т.е. о теореме сложения Эйлера–Абеля) — их учили лишь структурам Ходжа и якобиевым многообразиям!

Как могло сложиться такое положение во Франции, давшей миру Лагранжа и Лапласа, Коши и Пуанкаре, Лере и Тома? Мне кажется, разумное объяснение дал И. Г. Петровский, учивший меня в 1966 году: настоящие математики не сбиваются в шайки, но слабым шайки необходимы, чтобы выжить. Они могут объединяться по разным принципам (будь то сверхабстрактность, антисемитизм или «прикладная и индустриальная» проблематика), но сущностью всегда остаётся решение социальной проблемы — самосохранение в условиях более грамотного окружения.

Напомню, кстати, предостережение Л. Пастёра — никогда не существовало и не будет существовать никаких «прикладных наук», есть лишь приложения наук (весьма полезные!).

В те времена я относился к словам Петровского с некоторым сомнением, но теперь я всё более и более убеждаюсь, насколько он был прав. Значительная часть сверхабстрактной деятельности сводится просто к индустриализации беззастенчивого отнимания открытий у первооткрывателей и их систематическому приписыванию эпигонам-обобщателям. Подобно тому, как Америка не носит имя Колумба, математические результаты почти никогда не называются именами их открывателей.

Во избежание кривотолков должен заметить, что мои собственные достижения почему-то никогда не подвергались подобной экспроприации, хотя это постоянно случалось и с моими учителями (Колмогоровым, Петровским, Понтрягиным, Рохлиным) и с учениками. Проф. М. Берри сформулировал однажды следующие два принципа:

Принцип Арнольда. Если какое-либо понятие имеет персональное имя, то это — не имя первооткрывателя.

Принцип Берри. Принцип Арнольда применим к самому себе.

Вернусь, однако, к преподаванию математики во Франции.

Когда я учился на первом курсе мех.-мата МГУ, лекции по анализу читал теоретико-множественный тополог Л. А. Тумаркин, добросовестно пересказывающий старый классический курс анализа французского образца, типа Гурса. Он сообщил нам, что интегралы от рациональных функций вдоль алгебраической кривой берутся, если соответствующая риманова поверхность — сфера, и, вообще говоря, не берутся, если род её выше, и что для сферичности достаточно существования на кривой данной степени достаточно большого числа двойных точек (вынуждающих кривую быть уникурсальной: её вещественные точки можно нарисовать на проективной плоскости единым росчерком пера).

Эти факты настолько поражают воображение, что (даже сообщённые без всяких доказательств) дают большее и более правильное понятие о современной математике, чем целые тома трактата Бурбаки. Ведь мы узнаем здесь о существовании замечательной связи между вещами на вид совершенно различными: существованием явного выражения для интегралов и топологией соответствующей римановой поверхности, с одной стороны, а с другой стороны — между числом двойных точек и родом соответствующей римановой поверхности, проявляющемся вдобавок в вещественной области в виде уникурсальности.

Уже Якоби заметил, как самое восхитительное свойство математики, что в ней одна и та же функция управляет и представлениями целого числа в виде суммы четырёх квадратов, и истинным движением маятника.

Эти открытия связей между разнородными математическими объектами можно сравнить с открытием связи электричества и магнетизма в физике или сходства восточного берега Америки с западным берегом Африки в геологии.

Эмоциональное значение таких открытий для преподавания трудно переоценить. Именно они учат нас искать и находить подобные замечательные явления единства всего сущего.

Дегеометризация математического образования и развод с физикой разрывает эти связи. Например, не только студенты, но и современные алгебраические геометры в большинстве своем не знают об упомянутом здесь Якоби факте: эллиптический интеграл первого рода выражает время движения вдоль эллиптической фазовой кривой в соответствующей гамильтоновой динамической системе.

Перефразируя известные слова об электроне и атоме, можно сказать, что гипоциклоида столь же неисчерпаема, как идеал в кольце многочленов. Но учить идеалам студентов, никогда не видевших гипоциклоиды, столь же нелепо, как учить складывать дроби детей, никогда не разрезавших (хотя бы мысленно) на равные доли ни яблоко, ни пирог. Неудивительно, что дети предпочтут складывать числитель с числителем и знаменатель со знаменателем.

От моих французских друзей я слышал, что склонность к сверхабстрактным обобщениям является их традиционной национальной чертой. Я не исключаю, что здесь действительно идет речь о наследственной болезни, но всё же хотел бы подчеркнуть, что пример с яблоком и пирогом я заимствовал у Пуанкаре.

Схема построения математической теории совершенно такая же, как в любой естественной науке. Сначала мы рассматриваем какие-либо объекты и делаем в частных случаях какие-то наблюдения. Потом мы пытаемся найти пределы применимости своих наблюдений, ищем контрпримеры, предохраняющие от неоправданного распространения наших наблюдений на слишком широкий круг явлений (пример: числа разбиений последовательных нечётных чисел 1, 3, 5, 7, 9 на нечётное число натуральных слагаемых образуют последовательность 1, 2, 4, 8, 16, но за этими числами следует 29).

В результате мы по возможности чётко формулируем сделанное эмпирическое открытие (например, гипотезу Ферма или гипотезу Пуанкаре). После этого наступает трудный период проверки того, насколько надёжны полученные заключения.

Здесь в математике разработана специальная технология, которая, в применении к реальному миру, иногда полезна, а иногда может приводить и к самообману. Эта технология называется моделированием. При построении модели происходит следующая идеализация: некоторые факты, известные лишь с некоторой долей вероятия или лишь с некоторой точностью, признаются «абсолютно» верными и принимаются за «аксиомы». Смысл этой «абсолютности» состоит ровно в том, что мы позволяем себе оперировать с этими «фактами» по правилам формальной логики, объявляя «теоремами» всё то, что из них можно вывести.

Понятное дело, что ни в какой реальной деятельности полностью полагаться на подобные дедукции невозможно. Причиной является хотя бы то, что параметры изучаемых явлений никогда не бывают известными нам абсолютно точно, а небольшое изменение параметров (например, начальных условий процесса) может совершенно изменить результат. Скажем, по этой причине надёжный долгосрочный динамический прогноз погоды невозможен и останется невозможным, сколь бы ни совершенствовались компьютеры и регистрирующие начальные условия датчики.

Совершенно таким же образом небольшое изменение аксиом (в которых ведь мы точно уверены быть не можем) способно, вообще говоря, привести к иным выводам, чем дают выведенные из принятых аксиом теоремы. И чем длиннее и искуснее цепь выводов («доказательств»), тем менее надёжен окончательный результат.

Сложные модели редко бывают полезными (разве что для диссертантов).

Математическая технология моделирования состоит в том, чтобы от этой неприятности отвлечься и говорить о своей дедуктивной модели так, как если бы она совпадала с реальностью. Тот факт, что этот — явно неправильный с точки зрения естествознания — путь часто приводит к полезным результатам в физике, называют «непостижимой эффективностью математики в естественных науках» (или «принципом Вигнера»).

Здесь можно добавить замечание, принадлежащее И. М. Гельфанду: существует ещё один феномен, сравнимый по непостижимости с отмеченной Вигнером непостижимой эффективностью математики в физике — это столь же непостижимая неэффективность математики в биологии.

«Тонкий яд математического образования» (по выражению Ф. Клейна) для физика состоит именно в том, что абсолютизируемая модель отрывается от реальности и перестаёт с нею сравниваться. Вот самый простой пример: математика учит нас, что решение уравнения Мальтуса dx/dt = x однозначно определяется начальными условиями (т.е. что соответствующие интегральные кривые на плоскости (t, x) не пересекают друг друга). Этот вывод математической модели имеет мало отношения к реальности. Компьютерный эксперимент показывает, что все эти интегральные кривые имеют общие точки на отрицательной полуоси t. И действительно, скажем, кривые с начальными условиями x(0) = 0 и x(0) = 1 при t = –10 практически пересекаются, а при t = –100 между ними нельзя вставить и атома. Свойства пространства на столь малых расстояниях вовсе не описываются евклидовой геометрией. Применение теоремы единственности в этой ситуации — явное превышение точности модели. При практическом применении модели это надо иметь в виду, иначе можно столкнуться с серьёзными неприятностями.

Замечу, впрочем, что та же теорема единственности объясняет, почему заключительный этап швартовки корабля к пристани проводится вручную: при управлении, когда скорость причаливания определяется как гладкая (линейная) функция от расстояния, для причаливания потребовалось бы бесконечное время. Альтернативой является удар о причал (демпфируемый надлежащими неидеально упругими телами). Между прочим, с этой проблемой пришлось всерьёз столкнуться при посадке первых же спускаемых аппаратов на Луну и Марс, а также при причаливании к космическим станциям — здесь теорема единственности работает против нас.

К сожалению, ни подобные примеры, ни обсуждение опасности фетишизирования теорем не встречаются в современных учебниках математики, даже лучших. У меня даже создалось впечатление, что математики-схоласты (мало знакомые с физикой) верят в принципиальное отличие аксиоматической математики от обычного в естествознании моделирования (всегда нуждающегося в последующем контроле выводов экспериментом).

Не говоря уже об относительном характере исходных аксиом, нельзя забывать о неизбежности логических ошибок в длинных рассуждениях (скажем, в виде сбоя в компьютере, вызванного космическими лучами или квантовыми осцилляциями). Каждый работающий математик знает, что если не контролировать себя (лучше всего — примерами), то уже через какой-нибудь десяток страниц половина знаков в формулах будет переврана, а двойки из знаменателей проникнут в числители.

Технология борьбы с подобными ошибками — такой же внешний контроль экспериментами или наблюдениями, как и в любой экспериментальной науке, и ему следует с самого начала учить школьников младших классов.

Попытки создания «чистой» дедуктивно-аксиоматической математики привели к отказу от обычной в физике схемы (наблюдение — модель — исследование модели — выводы — проверка наблюдениями) и замена её схемой: определение — теорема — доказательство. Понять немотивированное определение невозможно, но это не останавливает преступных алгебраистов-аксиоматизаторов. Например, они были бы готовы определить произведение натуральных чисел при помощи правила умножения «столбиком». Коммутативность умножения становится при этом трудно доказываемой, но все же выводимой из аксиом теоремой. Эту теорему и её доказательство можно затем заставить учить несчастных студентов (с целью повысить авторитет как самой науки, так и обучающих ей лиц). Понятно, что ни такие определения, ни такие доказательства, ни для целей преподавания, ни для практической деятельности, ничего, кроме вреда, принести не могут.

Понять коммутативность умножения можно, только либо пересчитывая выстроенных солдат по рядам и по шеренгам, либо вычисляя двумя способами площадь прямоугольника. Попытки обойтись без этого вмешательства физики и реальности в математику — сектанство и изоляционизм, разрушающие образ математики как полезной человеческой деятельности в глазах всех разумных людей.

Раскрою ещё несколько подобных секретов (в интересах несчастных студентов).

Определитель матрицы — это (ориентированный) объём параллелепипеда, рёбра которого — её столбцы. Если сообщить студентам эту тайну (тщательно скрываемую в выхолощенном алгебраическом преподавании), то вся теория детерминантов становится понятной главой теории полилинейных форм. Если же определять детерминанты иначе, то у каждого разумного человека на всю жизнь останется отвращение и к определителям, и к якобианам, и к теореме о неявной функции.

Что такое группа? Алгебраисты учат, будто это множество с двумя операциями, удовлетворяющими куче легко забываемых аксиом. Это определение вызывает естественный протест: зачем разумному человеку такие пары операций? «Да пропади она пропадом, эта математика» — заключает студент (делающийся в будущем, возможно, министром науки).

Положение становится совершенно иным, если начать не с группы, а с понятия преобразования (взаимно-однозначного отображения множества в себя), как это и было исторически. Набор преобразований какого-либо множества называется группой, если вместе с любыми двумя преобразованиями он содержит результат их последовательного применения, а вместе с каждым преобразованием — обратное преобразование.

Вот и всё определение — так называемые «аксиомы» — это на самом деле (очевидные) свойства групп преобразований. То, что аксиоматизаторы называют «абстрактными группами» — это просто группы преобразований различных множеств, рассматриваемые с точностью до изоморфизма (взаимно-однозначного отображения, сохраняющего операции). Никаких «более абстрактных» групп в природе не существует, как это доказал Кэли. Зачем же алгебраисты до сих пор мучают студентов абстрактным определением?

Между прочим, в 1960-е годы я преподавал теорию групп московским школьникам. Избегая аксиоматики и оставаясь возможно ближе к физике, я за полгода дошёл до теоремы Абеля о неразрешимости общего уравнения пятой степени в радикалах (научив школьников попутно комплексным числам, римановым поверхностям, фундаментальным группам и группам монодромии алгебраических функций). Этот курс впоследствии был опубликован одним из слушателей, В. Алексеевым, в виде книги «Теорема Абеля в задачах».

Что такое гладкое многообразие? В недавней американской книге я прочёл, что Пуанкаре не был знаком с этим (введённым в математику им самим) понятием, и что «современное» определение дано лишь в конце 1920-х годов Вебленом: многообразие — это топологические пространство, удовлетворяющее длинному ряду аксиом.

За какие грехи вынуждены студенты продираться через все эти ухищрения? На самом деле в Analysis Situs Пуанкаре имеется совершенно явное определение гладкого многообразия, которое гораздо полезнее «абстрактного».

Гладкое k-мерное подмногообразие евклидова пространства R^N — это его подмножество, которое в окрестности каждой своей точки представляет собой график гладкого отображения R^k в R^N–k (где R^k и R^N–k — координатные подпространства). Это — прямое обобщение самых обычных гладких кривых на плоскости (скажем, окружности x² + y² = 1) или кривых и поверхностей в трёхмерном пространстве.

Между гладкими многообразиями естественно определяются гладкие отображения. Диффеоморфизмы — это отображения, гладкие вместе со своими обратными.

«Абстрактное» гладкое многообразие — это гладкое подмногообразие какого-либо евклидова пространства, рассматриваемое с точностью до диффеоморфизма. Никаких «более абстрактных» конечномерных гладких многообразии в природе не существует (теорема Уитни). Зачем же мы до сих пор мучаем студентов абстрактным определением? Не лучше ли доказать им теорему о явной классификации двумерных замкнутых многообразий (поверхностей)?

Именно эта замечательная теорема (утверждающая, например, что всякая компактная связная ориентируемая поверхность — это сфера с некоторым числом ручек) даёт правильное представление о том, что такое современная математика, а вовсе не сверхабстрактные обобщения наивных подмногообразий евклидова пространства, не дающие на самом деле ничего нового и выдаваемые аксиоматизаторами за достижения.

Теорема о классификации поверхностей — математическое достижение высшего класса, сравнимое с открытием Америки или рентгеновских лучей. Это настоящее открытие математического естествознания, и даже трудно сказать, принадлежит ли сам факт математике или физике. По своему значению и для приложений, и для выработки правильного мировоззрения он далеко превосходит такие «достижения» математики, как решение проблемы Ферма или доказательство того, что всякое достаточно большое целое число представляется в виде суммы трёх простых чисел.

Ради рекламы современные математики иногда выдают подобные спортивные достижения за последнее слово своей науки. Понятно, что это не только не способствует высокой оценке математики обществом, а, напротив, вызывает здоровое недоверие к необходимости затраты усилий на занятия (типа скалолазания) этими экзотическими и неизвестно зачем и кому нужными вопросами.

Теорема о классификации поверхностей должна была бы входить в курсы математики средней школы (вероятно, без доказательства), но не входит почему-то даже в университетские курсы математики (из которых во Франции, впрочем, за последние десятилетия изгнана вообще вся геометрия).

Возвращение преподавания математики на всех уровнях от схоластической болтовни к изложению важной естественнонаучной области — особенно насущная задача для Франции. Для меня было удивительным, что студентам здесь практически неизвестны (и, кажется, не переводились на французский язык) все самые лучшие и важные в методическом отношении математические книги: «Числа и фигуры» Радемахера и Тёплица, «Наглядная геометрия» Гильберта и Кон-Фоссена, «Что такое математика» Куранта и Роббинса, «Как решать задачу» и «Математика и правдоподобные рассуждения» Полиа, «Лекции о развитии математики в XIX столетии» Ф. Клейна.

Я хорошо помню, какое сильное впечатление произвёл на меня в школьные годы курс анализа Эрмита (существующий, между прочим, в русском переводе!).

Римановы поверхности появлялись в нём, кажется, в одной из первых лекций (весь анализ был, конечно, комплексным, как это и должно быть). Асимптотики интегралов исследовались при помощи деформаций путей на римановых поверхностях при движении точек ветвления (теперь мы это назвали бы теорией Пикара–Лефшеца; Пикар, кстати, был зятем Эрмита — математические способности часто передаются зятьям: династия Адамар — П. Леви — Л. Шварц — У. Фриш — ещё один знаменитый пример в Парижской Академии наук).

«Устарелый» курс Эрмита столетней давности (вероятно, выкинутый ныне из студенческих библиотек французских университетов) был гораздо современнее, чем те скучнейшие учебники анализа, которыми теперь мучают студентов.

Если математики не обучаются сами, то потребители, сохранившие как нужду в современной в лучшем смысле слова математической теории, так и свойственный каждому здравомыслящему человеку иммунитет к бесполезной аксиоматической болтовне, в конце концов откажутся от услуг схоластов-недоучек и в университетах, и в школах.

Преподаватель математики, не одолевший хотя бы части томов курса Ландау и Лифшица, станет тогда таким же ископаемым, как сейчас — не знающий разницы между открытым и замкнутым множеством.

¹⁾ Расширенный текст выступления на дискуссии о преподавании математики в Palais de Découverte в Париже 7 марта 1997 г. назад к тексту